Формулировки к экзамену по алгебре.
ФКТИ ЛЭТИ, 4 семестр, весна 2017
Лектор: А.В.Степанов

  1. Инъективность, сюръективность, биективность (определения).
  2. Моноид, группа, подгруппа, абелева группа (определения).
  3. Симметрическая группа (определение).
  4. Подгруппа, порожденная подмножеством (определение).
  5. Классификация циклических групп.
  6. Порядок элемента группы (2 определения).
  7. Порядок произведения элементов группы.
  8. Прямое произведение групп (определение).
  9. Порядок элемента прямого произведения.
  10. Экспонента группы (определение и простейшие свойства).
  11. Критерий цикличности группы (через ее экспоненту).
  12. Смежные классы, индекс подгруппы (определения).
  13. Теорема Лагранжа.
  14. Нормальная подгруппа (эквивалентные определения).
  15. Гомоморфизм групп, мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм (определения).
  16. Ядро и образ гомоморфизма групп (определения и простейшие свойства).
  17. Факторгруппа, канонический гомоморфизм из группы в факторгруппу (определения).
  18. Универсальное свойство факторгруппы.
  19. Теорема о гомоморфизме групп.
  20. Действие группы на множестве (определение).
  21. Орбита, стабилизатор, множество неподвижных точек (определения).
  22. Длина орбиты.
  23. Лемма Бернсайда о числе орбит.
  24. Кольцо, в т.ч. коммутативное, с единицей (определения).
  25. Прямая сумма колец (определение).
  26. Делитель нуля, область целостности (определения).
  27. Идеал, главный идеал, ОГИ (определения).
  28. Гомоморфизм колец (определение).
  29. Ядро и образ гомоморфизма колец (определения и простейшие свойства).
  30. Факторкольцо (определение).
  31. Теорема о гомоморфизме колец.
  32. Взаимно простые идеалы (определение и лемма об их произведении и пересечении).
  33. Взаимно простые идеалы (определение и лемма о взаимной простоте с произведением).
  34. Китайская теорема об остатках.
  35. Неприводимые и ассоциированные элементы кольца (определения в общем случае).
  36. Неприводимые и ассоциированные элементы кольца (простые определения для области целостности).
  37. Простой идеал и простой элемент (определения).
  38. Простые и неприводимые элементы (лемма).
  39. Факториальные кольца (определение и связь с ОГИ).
  40. Максимальные идеалы (определение, существование и простота).
  41. Факторкольцо по простому и максимальному идеалу.
  42. Простые и максимальные идеалы в ОГИ.
  43. Евклидово кольцо (определение).
  44. Идеалы евклидова кольца. Алгоритм Евклида.
  45. Присоединение к полю алгебраического элемента.
  46. Присоединение к полю трансцендентного элемента
  47. Классификация конечных полей.
  48. Конечные подгруппы мультипликативной группы поля.
  49. Функция Кармайкла (определение и формула).
  50. Тесты Ферма и Эйлера.
  51. Тест Миллера–Рабина.
  52. Категория (определение)
  53. Функтор (определение)
Пояснения к некоторым формулировкам.