Утверждения, которые надо уметь доказывать к экзамену по алгебре.
ФКТИ ЛЭТИ, 4 семестр, весна 2017
Лектор: А.В.Степанов

  1. Классификация циклических групп.
  2. Порядок произведения элементов группы и элемента прямого произведения.
  3. Лемма об экспоненте группы и критерий цикличности.
  4. Теорема Лагранжа.
  5. Теорема о гомоморфизме групп.
  6. Лемма Бернсайда о числе орбит (включая лемму о длине орбиты).
  7. Теорема о гомоморфизме колец.
  8. Леммы о взаимно простых идеалах.
  9. Китайская теорема об остатках.
  10. Простые и неприводимые элементы в ОГИ.
  11. Единственность разложения на простые в ОГИ.
  12. Простые и максимальные идеалы. (Факторкольцо по простому и максимальному идеалу, максимальный идеал является простым, обратное утверждение в ОГИ).
  13. Идеалы евклидова кольца. Алгоритм Евклида.
  14. Количество элементов в конечном поле.
  15. Конечные подгруппы мультипликативной группы поля.
  16. Улучшенная теорема Эйлера.
  17. Тест Миллера–Рабина. (доказательство того, что тест Миллера–Рабина выполнен по простому модулю).