Теоремы для доказательства по курсу линейной алгебры. ФКТИ, II семестр.

1. Эквивалентность различных определений базиса.
2. Лемма о дополнении до базиса.
3. Существование матрицы перехода от одного базиса к другому и формула для ее столбцов.
4. Формулы преобразования координат и изменения матрицы оператора и матрицы квадратичной формы при замене базиса.
5. Теорема о размерности суммы и пересечения линейных подпространств.
6. Теорема об изоморфизме конечномерных пространств.
7. Изоморфизм внешней и внутренней прямой суммы.
8. Существование матрицы линейного оператора и формула для столбцов этой матрицы.
9. Теорема о размерности ядра и образа.
10. Теорема о линейной независимости собственных векторов.
11. Критерии диагонализуемости оператора.
12. Существование матрицы билинейной формы и формула для ее элементов.
13. Соответствие между квадратичными и билинейными формами.
14. Теорема о приведении квадратичной формы к диагональному виду (над произвольным полем).
15. Неравенство Коши–Буняковского и неравенство треугольника.
16. Формула проекции одного вектора на другой, ортогонализация Грама–Шмидта.
17. Координаты вектора в ортогональном базисе, равенство Парсеваля и неравенство Бесселя.
18. Расстояние от точки до подпространства.
19. Формула для псевдорешения переопределенной системы линейных уравнений.
20. Теорема о собственных числах и векторах самосопряженного оператора.
21. Теорема о диагонализуемости самосопряженного оператора.
22. Приведение вещественной квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием.
23. Закон инерции квадратичных форм.