Программа курса линейной алгебры.
ФКТИ, III семестр, осень 2006
Лектор: А.В.Степанов
Темы лекций
- Функции. Инъективность, сюръективность, биективность,
обратные функции и т.п.
- Определение линейного пространства. Подпространства,
линейная оболочка. Линейная независимость. Система образующих. Базис.
Лемма о дополнении до базиса.
- Матрица перехода. Количество векторов в базисе.
Определение размерности. Изоморфизм линейных пространств.
Примеры выбора базиса в различных пространствах.
- Теорема о размерности суммы и пересечения.
Прямая сумма подпространств.
Евклидово и унитарное скалярное произведение. Примеры. Матрица Грама.
- Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.
Ортогонализация Грама--Шмидта. Ортонормированный базис. Линейная
независимость ортогонального набора векторов.
- Равенство Парсеваля и неравенство Бесселя.
Переопределенные системы: метод наименьших квадратов.
- Линейные операторы.
Матрица линейного оператора. Преобразовании матрицы при замене базиса.
- Образ, ядро, инвариантные подпространства.
Ранг матрицы оператора. Теорема о размерности ядра и образа.
Инварианты линейного оператора: определитель, след.
- Характеристический многочлен, собственные числа. Диагонализация.
Алгебраическая и геометрическая кратность собственного числа.
- Жорданова форма (без доказательства). Приложения: матричные
уравнения, рекурсивные последовательности.
- Билинейные и квадратичные формы, самосопряженные операторы.
Собственные числа и вектора самосопряженного оператора.
- Унитарные операторы. Преобразования, не меняющие
расстояний. Симметричные, ортогональные и унитарные матрицы.
- Приведение к диагональному виду методом Лагранжа.
Приведение квадратичной формы к диагональному виду
ортогональным преобразованием.
- Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра.
Кривые и поверхности второго порядка.
Самостоятельные работы
- Функции.
- Простые задачи про пространства столбцов.
- Ортогонализация пары столбцов и координаты в
ортогональном базисе.
- Матрица линейного оператора..
- Тест про собственные числа и собственные вектора.
- Симметричные матрицы и квадратичные формы.
Индивидуальные домашние задания
- Базис линейной оболочки и базис пространства решений.
- Ортогонализация и псевдорешение.
- Линейные операторы, заданные матрицами.
- Применение собственных чисел.
- Кривые и поверхности 2-го порядка.