Программа курса линейной алгебры.
ФКТИ, III семестр, осень 2006
Лектор: А.В.Степанов

Темы лекций

  1. Функции. Инъективность, сюръективность, биективность, обратные функции и т.п.
  2. Определение линейного пространства. Подпространства, линейная оболочка. Линейная независимость. Система образующих. Базис. Лемма о дополнении до базиса.
  3. Матрица перехода. Количество векторов в базисе. Определение размерности. Изоморфизм линейных пространств. Примеры выбора базиса в различных пространствах.
  4. Теорема о размерности суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств. Евклидово и унитарное скалярное произведение. Примеры. Матрица Грама.
  5. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника. Ортогонализация Грама--Шмидта. Ортонормированный базис. Линейная независимость ортогонального набора векторов.
  6. Равенство Парсеваля и неравенство Бесселя. Переопределенные системы: метод наименьших квадратов.
  7. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразовании матрицы при замене базиса.
  8. Образ, ядро, инвариантные подпространства. Ранг матрицы оператора. Теорема о размерности ядра и образа. Инварианты линейного оператора: определитель, след.
  9. Характеристический многочлен, собственные числа. Диагонализация. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного числа.
  10. Жорданова форма (без доказательства). Приложения: матричные уравнения, рекурсивные последовательности.
  11. Билинейные и квадратичные формы, самосопряженные операторы. Собственные числа и вектора самосопряженного оператора.
  12. Унитарные операторы. Преобразования, не меняющие расстояний. Симметричные, ортогональные и унитарные матрицы.
  13. Приведение к диагональному виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием.
  14. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Кривые и поверхности второго порядка.

Самостоятельные работы

  1. Функции.
  2. Простые задачи про пространства столбцов.
  3. Ортогонализация пары столбцов и координаты в ортогональном базисе.
  4. Матрица линейного оператора..
  5. Тест про собственные числа и собственные вектора.
  6. Симметричные матрицы и квадратичные формы.

Индивидуальные домашние задания

  1. Базис линейной оболочки и базис пространства решений.
  2. Ортогонализация и псевдорешение.
  3. Линейные операторы, заданные матрицами.
  4. Применение собственных чисел.
  5. Кривые и поверхности 2-го порядка.