Формулировки по курсу Линейной Алгебры. ФКТИ, II семестр.

1. Инъективность, сюръективность, биективность функции (определения).
2. Определение обратной функции.
3. Определение линейной независимости.
4. Определение линейной оболочки.
5. Определение системы образующих.
6. 4 определения базиса. Определение размерности линейного пространства.
7. Критерий подпространства (Когда подмножество является подпространством?).
8. Лемма о дополнении до базиса.
9. Определение матрицы перехода от одного базиса к другому и формула для ее столбцов.
10. Формула преобразования координат при замене базиса.
11. Теорема о размерности суммы и пересечения линейных подпространств.
12. Определение прямой суммы подпространств.
13. Определение внешней прямой суммы.
14. Определения линейного оператора и изоморфизма линейных пространств.
15. Теорема об изоморфизме конечномерных пространств.
16. Определение матрицы линейного оператора и формула для столбцов этой матрицы.
17. Формула преобразования матрицы оператора при замене базиса.
18. Определение ядра и образа линейного оператора.
19. Лемма об общем решении неоднородного линейного уравнения.
20. Утверждение о ранге матрицы оператора.
21. Теорема о размерности ядра и образа.
22. Определение инвариантного подпространства.
23. Определение собственных чисел и векторов.
24. Определение собственного подпространства и геометрической кратности собственного числа.
25. Определение характеристического многочлена и алгебраической кратности собственного числа.
26. Теорема о линейной независимости собственных векторов.
27. Критерий диагонализуемости оператора.
28. Достаточное условие диагонализуемости оператора.
29. Критерий диагонализуемости оператора в терминах алгебраической и геометрической кратности.
30. Утверждение про след матрицы оператора.
31. Утверждение про определитель матрицы оператора.
32. Жорданова форма: определение и теорема существования.
33. Определение билинейной и симметричной билинейной формы.
34. Определение матрицы билинейной формы и формула для ее элементов.
35. Определение квадратичной формы и ее матрицы.
36. Преобразование матрицы квадратичной формы при замене базиса.
37. Поляризация квадратичной формы.
38. Теорема о приведении квадратичной формы к диагональному виду (над произвольным полем).
39. Определение (аксиомы) евклидова скалярного произведения.
40. Определение (аксиомы) эрмитова скалярного произведения.
41. Определение матрицы Грама и формула для ее элементов.
42. Неравенство Коши–Буняковского и неравенство треугольника.
43. Формула проекции одного вектора на другой.
44. Координаты вектора в ортогональном базисе.
45. Ортогонализация Грама–Шмидта.
46. Равенство Парсеваля.
47. Неравенство Бесселя.
48. Расстояние от точки до подпространства.
49. Определение псевдорешения переопределенной системы линейных уравнений (метод наименьших квадратов).
50. Формула для псевдорешения переопределенной системы линейных уравнений.
51. Определение самосопряженного оператора.
52. Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора.
53. Теорема о собственных числах самосопряженного оператора.
54. Теорема о диагонализуемости самосопряженного оператора.
55. Приведение вещественной квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием.
56. Определение сигнатуры квадратичной формы.
57. Закон инерции квадратичных форм.