Некоммутативные кольца ----------------------- И.М.Зильберборд Некоммутативные кольца встречаются в различных разделах алгебры, и, как правило, они устроены далеко не так просто, как хорошо знакомые всем полные кольца матриц над телами. Предметом нашего изучения будут прежде всего взаимосвязи между свойствами самого кольца и категорий левых и правых модулей над ним. Зачастую некоторые свойства категории модулей совершенно неожиданны для нашей интуиции, заметно более привычной к коммутативному случаю. Помимо важных примеров некоммутативных колец, некоторых конструкций и свойств конечности в курсе планируется обсудить полусовершенные и совершенные кольца, некоммутативные обобщения дедекиндовых областей (знакомых по алгебраической теории чисел), некоммутативные локализации и кольца частных нётеровых колец, размерности колец и модулей, в частности, размерность Крулля. Мы также коснёмся самых начал относительной гомологической алгебры - науки, изучающей собственные классы коротких точных последовательностей и соответствующие им "относительные" аналоги понятий гомологической алгебры, например, относительно инъективные объекты и относительную теорию когомологий для колец. Программа курса ---------------- РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОЛЕЦ (6 часов) Классические примеры некоммутативных колец: матричные кольца, кольца обобщённых кватернионов, кольца «косых» многочленов, многочленов Лорана, кольца, удовлетворяющие полиномиальному тождеству (PI-кольца), кольца дифференциальных операторов, алгебры Вейля, обёртывающие алгебры алгебр Ли, групповые алгебры и их обобщения. Категория модулей над кольцом. Разложение кольца в прямую сумму, связь с идемпотентами. Условия обрыв цепей, их несимметричность для колец. Первичный радикал кольца. Радикал Джекобсона. Лемма Накаямы. Бифункторы Hom и тензорное произведение. Изоморфизм сопряжённости. Плоские модули. Проективные модули, связь со свободными модулями. Инъективные модули, инъективная оболочка. Разложения инъективных модулей над нетёровыми кольцами. РАЗДЕЛ 2. АРТИНОВЫ КОЛЬЦА (4 часа) Композиционный ряд модуля, теорема Жордана – Гёльдера, длина модуля. Полупростые модули, цоколь модуля. Классически полупростые кольца и модули над ними. Простые артиновы кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна-Артина. Описание радикала Джекобсона в случае артинового кольца. Нётеровость артиновых колец. Групповые алгебры и представления групп: теорема Машке, условие полупростоты групповой алгебры. Фробениусовы и квазифробениусовы кольца, симметрические алгебры. РАЗДЕЛ 3. ПОЛУЛОКАЛЬНЫЕ, ПОЛУСОВЕРШЕННЫЕ И СОВЕРШЕННЫЕ КОЛЬЦА (6 часов) Локальные и полулокальные кольца. Лемма Фиттинга, теорема Адзумаи- Крулля- Ремака - Шмидта. Проективные модули над локальными кольцами, теорема Капланского. Поднятие идемпотентов по модулю идеала, поднятие любого набора идемпотентов по модулю идеала, связь с существованием проективного накрытия. Полусовершенные кольца, характеризации на языке пирсовского разложения и на языке поднятия идемпотентов по модулю радикала. Прямые разложения конечно порожденных проективных модулей над полусовершенным кольцом. Совершенные кольца. T-нильпотентные идеалы. Теорема Басса о совершенных кольцах. Проективные модули над совершенными кольцами. РАЗДЕЛ 4. ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА (4 часа) Первичные и полупервичные кольца. Некоммутативные дедекиндовы области, дедекиндовы первичные кольца, Морита-эквивалентности между ними. Конечно порождённые модули над дедекиндовыми первичными кольцами: структура свободных от кручения модулей, разложение периодических модулей в прямую сумму циклических подмодулей. РАЗДЕЛ 5. НЕКОММУТАТИВНЫЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ, КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ НЁТЕРОВЫХ КОЛЕЦ (6 часов) Локализации и кольца частных для некоммутативных колец. Пример Мальцева некоммутативной области целостности, не вкладывающейся в тело. Левое (правое) условие Оре, равносильность существованию левого (правого) кольца частных. Правые области Оре как области целостности с правым телом частных. Любая PI-алгебра, являющаяся областью – область Оре. Кольца Голди, теоремы Голди о правом кольце частных полупервичного правого кольца Голди. Порядки в кольцах частных. Наследственные нётеровы кольца: существование артинова кольца частных, разложение в прямое произведение артинова наследственного кольца и наследственных нётеровых первичных колец. РАЗДЕЛ 6. РАЗМЕРНОСТИ КОЛЕЦ (6 часов) Размерность Крулля кольца и модуля, их свойства. Нётеров модуль имеет размерность Крулля. Неравенство между размерностями Крулля конечно порождённого правого R модуля и нётерова справа кольца R. Связь между размерностями Крулля кольца R и циклических R-модулей. Теорема о критическом композиционном ряде нётерова модуля. Радикал Крулля нётерова модуля. Примеры вычисления размерности Крулля (групповые алгебры, «косые» многочлены, алгебры Вейля). Свойства колец с размерностью Крулля. Проективная, инъективная и плоская (слабая) размерности модуля. Эквивалентные определения правой глобальной размерности и слабой глобальной размерности кольца, их простейшие свойства. Правая глобальная размерность нётерова кольца R как супремум проективных размерностей правых простых R-модулей. Примеры вычисления глобальных размерностей кольца (замена колец, «косые многочлены», алгебры Вейля).